Question

如图，设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为l（l为定值），把该矩形沿AC折起来，AB折过去后，交DC于点P，设AB=x，△ADP的面积为y．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并指出定义域；
（2）求△ADP的最大面积及相应的x值．

Answer 1

分析：（1）求函数的解析式，关键是得出三角形的边长．由AB=x可得AD=

l

2

-x，由DP=PB'可得AP=x-DP，利用勾股定理可求DP，从而可得函数表达式；
（2）利用基本不等式可得

3l

x

+x≥2

3l

，从而可求面积的最大值．

解答：解：（1）由AB=x可得AD=

l

2

-x，由DP=PB'可得AP=AB'-PB'=AB-DP=x-DP，
利用勾股定理得 （

l

2

-x）²+DP²=（x-DP）²可求DP=

l

2

-

l2

8x

∴△ADP的面积 S=

1

2

AD•DP=

1

2

(12-x)•(

l

2

-

l2

8x

)=3l+

1

16

l2-

l

4

(

3l

x

+x)
函数的定义域为(

l

4

，

l

2

)
（2）由于函数的定义域为(

l

4

，

l

2

)，∴

3l

x

+x≥2

3l

，当且仅当x=

3l

时取等号．
此时△ADP的最大面积为3l+

1

16

l2-

3l

2

点评：本题的考点是函数模型的选择与英语，主要考查利用三角形知识解决实际问题，关键是构造三角形或其它几何图形，借助于三角形的知识进行求解，而基本不等式的应用是求解函数最值的常用方法．