Question

3．与圆O：x²+y²=2外切于点A（-1，-1），且半径2$\sqrt{2}$的圆的方程为（x+3）²+（y+3）²=8；若圆C上恰有两个点到直线x+y+m=0的距离为$\sqrt{2}$，则实数m的取值范围是m∈（0，4）∪（8，12）．

Answer 1

分析 （1）两圆相切，则切点与两圆的圆心三点共线，设出所求圆的圆心为C（a，b），列方程求得a，b即可；
（2）由题意可得圆心（-3，-3）到直线l：x+y+m=0的距离d满足$\sqrt{2}$＜d＜3$\sqrt{2}$．根据点到直线的距离公式求出d，再解绝对值不等式求得实数m的取值范围．

解答 解：设所求圆的圆心为C（a，b），
∵切点A（-1，-1）与两圆的圆心O、C三点共线，
∴$\frac{b}{a}=\frac{b+1}{a+1}$，
又|AC|=2$\sqrt{2}$，
∴（x-a）²+（y-b）²=8
解得a=3，b=-3，
∴所求圆的方程为（x+3）²+（y+3）²=8；
由题意可得圆心（-3，-3）到直线l：x+y+m=0的距离d满足$\sqrt{2}$＜d＜3$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$＜$\frac{|-6+m|}{\sqrt{2}}$＜3$\sqrt{2}$，
∴m∈（0，4）∪（8，12）．
故答案为：（x+3）²+（y+3）²=8，m∈（0，4）∪（8，12）

点评 本题主要考查圆的方程，考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法，属于中档题．