Question

（2012•天津）已知函数f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）+2cos²x-1化为f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），即可求得函数f（x）的最小正周期；
（2）可分析得到函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

8

]上是增函数，在区间[

π

8

，

π

4

]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=sin2x•cos

π

3

+cos2x•sin

π

3

+sin2x•cos

π

3

-cos2x•sin

π

3

+cos2x
=sin2x+cos2x
=

2

sin（2x+

π

4

），
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）∵函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

8

]上是增函数，在区间[

π

8

，

π

4

]上是减函数，
又f（-

π

4

）=-1，f（

π

8

）=

2

，f（

π

4

）=1，
∴函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值为

2

，最小值为-1．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）是关键，属于中档题．