Question

在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=

π

2

，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且

SE

=

1

3

SD

，如图．
（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的正切值．

Answer 1

分析：（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；
（2）（三垂线法）由

SE

=

1

3

SD

考虑在AD上取一点O，使得 

AO

=

1

3

AD

，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E-AC-D的平面角，在Rt△AHO中求解即可
（法二：空间向量法）
（1）同法一
（2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为

AS

=(0，0，2)，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可

解答：解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，
所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B
所以BC⊥平面SAB，
又SA?平面SAB，
所以BC⊥SA，
又SA⊥AB，BC∩AB=B
所以SA⊥平面ABCD，
（2）在AD上取一点O，使

AO

=

1

3

AD

，连接EO
因为

SE

=

1

3

SD

，所以EO∥SA
因为SA⊥平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD，
过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，
则AC⊥平面EOH，
所以AC⊥EH．
所以∠EHO为二面角E-AC-D的平面角，EO=

2

3

SA=

4

3

．
在Rt△AHO中，∠HAO=45°，HO=AO•sin45°=

2

3

×

2

2

=

2

3

∴tan∠EHO=

EO

OH

=2

2

，
即二面角E-AC-D的正切值为2

2

解法二：（1）同方法一
（2）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，

2

3

，

4

3

）
∴平面ACD的法向为

AS

=(0，0，2)
设平面EAC的法向量为

n

=（x，y，z），

AC

=(2，2，0)，

AE

=(0，

2

3

，

4

3

)
由

n • AC =0 n • AE =0

，
所以

x+y=0 y+2z=0

，可取

x=2 y=-2 z=1

所以

n

=（2，-2，1）．
所以cos＜

n

，

AS

＞=

n • AS

| n || AS |

=

2

2×3

=

1

3

所以tan＜

n

，

AS

＞=2

2

即二面角E-AC-D的正切值为2

2

点评：本题以平面图形的翻折为载体，考查空间直线与平面的位置关系：直线与平面平行及直线与平面平行的判定定理的运用，空角角中的二面角的平面角的作法及求解，利用向量的方法求解空间距离及空间角的方法，两法并举，注意细细体会．