Question

如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B，P在单位圆上，且B（-

3

5

，

4

5

），∠AOB=α，∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

．四边形OAQP的面积为S，
（1）求tan（α-

π

4

）；
（2）求

OQ

•

OA

+S的最大值及此时θ的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角差的正切公式进行计算即可．
（2）利用数量积的定义，结合三角函数的图象和性质计算即可．

解答：解：（1）∵B（-

3

5

，

4

5

），∠AOB=α，∴tanα=-

4

3

，
∴tan（α-

π

4

）=

tanα-tan π 4

1+tanα•tan π 4

=

- 4 3 -1

1- 4 3

=7．
（2）由已知A（1，0），P（cosθ，sinθ），
则

OQ

=(1+cos?θ，sin?θ)，

OA

?

OQ

=1+cos?θ，
又∵S=sinθ，
∴

OQ

•

OA

+S=sinθ+cosθ+1=

2

sin(θ+

π

4

)+1，（0＜θ＜π）．
∵0＜θ＜π，∴

π

4

＜θ＜

5π

4

，
∴当θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

4

时，

OQ

•

OA

+S取得最大值1+

2

．

点评：本题主要考查平面向量数量积的应用以及两角和差的正切公式，以及向量和三角函数的综合问题，考查学生的运算能力．