Question

[不等式选讲] 求证：对于任意不小于3的自然数，＞．

Answer 1

证明  要证＞，只要证2ⁿ＞2n＋1(n≥3)．             ……………………………2分

(1)n＝3时，2³＝8，2×3＋1＝7，不等式2ⁿ＞2n＋1 成立．   ……………………………4分

(2)假设n＝k(k≥3，且k∈N*)时，不等式成立，即2^k＞2k＋1，则2^k＋1＝2×2^k＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋2k＞2(k＋1)＋1，即2^k＋1＞2(k＋1)＋1．           ……………………………8分

综合(1)、(2)可知，对于任意不小于3的自然数，＞恒成立．       ……………10分