精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=
2x
1-2x
,x≠
1
2
-1,x=
1
2
的图象上的任意两点(可以重合),点M在直线x=
1
2
上,且
AM
=
MB

(Ⅰ)求x1+x2的值及y1+y2的值
(Ⅱ)已知S1=0,当n≥2时,Sn=f(
1
n
)
+f(
2
n
)
+f(
3
n
)
+…+f(
n-1
n
)
,求Sn
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设an=2Sn,Tn为数列{an}的前n项和,若存在正整数c、m,使得不等式
Tm-c
Tm+1-c
1
2
成立,求c和m的值.
分析:(Ⅰ)设出M的坐标,求出
AM
MB
.利用
AM
=
MB
.求出x1+x2的值,再用f(x)=
2x
1-2x
,x≠
1
2
-1,x=
1
2
求出y1+y2的值.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,f(
k
n
)+f(
n-k
n
)=-2
,化简Sn=f(
1
n
)
+f(
2
n
)
+f(
3
n
)
+…+f(
n-1
n
)
,可求Sn
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,利用an=2Sn,Tn为数列{an}的前n项和,求出Tn的表达式,
结合不等式
Tm-c
Tm+1-c
1
2
,推出c,m的范围,正整数c、m,可得c和m的值.
解答:解:(Ⅰ)∵点M在直线x=
1
2
上,设M(
1
2
yM)
.又
AM
=
MB

AM
=(
1
2
-x1yM-y1)
MB
=(x2-
1
2
y2-yM)

∴x1+x2=1.(2分)
①当x1=
1
2
时,x2=
1
2
,y1+y2=f(x1)+f(x2)=-1-1=-2;
②当x1
1
2
时,x2
1
2

y1+y2=
2x1
1-2x1
+
2x2
1-2x2
=
2x1(1-2x2)+2x2(1-2x1)
(1-2x1)(1-2x2)

=
2(x1+x2)-8x1x2
1-2(x1+x2)+4x1x2
=
2(1-4x1x2)
4x1x2-1
=-2

综合①②得,y1+y2=-2.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x1+x2=1时,y1+y2=-2.
f(
k
n
)+f(
n-k
n
)=-2
,k=1,2,3,,n-1.(7分)
n≥2时,Sn=f(
1
n
)
+f(
2
n
)
+f(
3
n
)
++f(
n-1
n
)
,①
Sn=f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+f(
n-3
n
)++f(
1
n
)
,②
①+②得,2Sn=-2(n-1),则Sn=1-n.
n=1时,S1=0满足Sn=1-n.
∴Sn=1-n.(10分)
(Ⅲ)an=2Sn=21-n,Tn=1+
1
2
++(
1
2
)n-1
=2-
2
2n
.
Tm-c
Tm+1-c
1
2
?
2(Tm-c)-(Tm+1-c)
2(Tm+1-c)
<0
?
c-(2Tm-Tm+1)
c-Tm+1
<0
.Tm+1=2-
1
2m
,2Tm-Tm+1=4-
4
2m
-2+
1
2m
=2-
3
2m

1
2
≤2-
3
2m
<c<2-
1
2m
<2
,c、m为正整数,
∴c=1,
当c=1时,
2-
3
2m
<1
2-
1
2m
>1

∴1<2m<3,
∴m=1.(14分)
点评:本题考查分段函数,数列的求和,数列递推式,相等向量与相反向量,考查学生分析问题解决问题的能力,是中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=lnx-
12
ax2
+bx(a>0)且f′(1)=0,
(1)试用含a的式子表示b,并求函数f(x)的单调区间;
(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2)(0<x1<x2)为函数f(x)图象上不同两点,G(x0,y0)为AB的中点,记AB两点连线斜率为K,证明:f′(x0)≠K.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线y=2x2上两个不同点,若x1x2=-
12
,且A、B两点关于直线y=x+m对称,试求m的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=
2x
1-2x
,x≠
1
2
-1,x=
1
2
的图象上的任意两点,点M在直线x=
1
2
上,且
AM
=
MB

(1)求x1+x2的值及y1+y2的值;
(2)已知S1=0,当n≥2时,Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n-1
n
)
,设an=2Sn,Tn为数列{an}的前n项和,若存在正整数c,m,使得不等式
Tm-c
Tm+1-c
1
2
成立,求c和m的值.
(3)在(2)的条件下,设bn=31-Sn,求所有可能的乘积bi•bj(1≤i≤j≤n)的和.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=loga(ax-1)(a>0,且a≠1)
(1)求此函数的定义域;
(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2)为函数y=loga(ax-1)图象上任意不同的两点,若a>1,求证:直线AB的斜率大于0.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•乐山一模)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=
2x
1-2x
,x≠
1
2
-1,x=
1
2
的图象上的两点(可以重合),点M在直线x=
1
2
上,且
AM
=
MB
.则y1+y2的值为
-2
-2

查看答案和解析>>

同步练习册答案