Question

8．$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），0≤α＜β≤2π，设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ：
①若|m$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$|，（m＜0），则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的最小值$\frac{1}{2}$；
②若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$且$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$，则$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$；
③若α+β=$\frac{π}{6}$，记f（α）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，则将f（α）的图象保持纵坐标不变，横坐标向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得到的函数是偶函数；
④已知$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，θ=$\frac{2π}{3}$，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，且满足$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，x，y∈R，则x+y∈[1，2]．
上述正确命题的序号为④．

Answer 1

分析 分别求得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，由向量的平方即为模的平方，结合基本不等式可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值为1，即可判断①；
由条件可得$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，即可判断②；由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式，以及图象变换和奇偶性的定义，即可判断③；由向量加法的平行四边形法则，可得0≤x，y≤1，且x+y≥1，再由向量的平方即为模的平方，结合基本不等式，即可得到x+y的范围，即可判断④．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），可得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，
对①，若|m$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$|，（m＜0），可得（m$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=3（$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$）²，
即有m²+1+2m$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3（1+m²+2m$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$），可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$[（-m）+（-$\frac{1}{m}$）]≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{（-m）•\frac{1}{-m}}$=1，
当且仅当m=-1，取得最小值1，故①错；
对②，若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$且$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$，可得$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=2$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{0}$，故②错；
对③，若α+β=$\frac{π}{6}$，记f（α）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2cos（α-β）=2cos（2α-$\frac{π}{6}$），
将f（α）的图象保持纵坐标不变，横坐标向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得到y=2cos（2α+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=2cos（2α+$\frac{π}{6}$），
得到的函数不为偶函数，故③错；
对④，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，θ=$\frac{2π}{3}$，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，且满足$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
由向量加法的平行四边形法则，可得0≤x，y≤1，且x+y≥1，$\overrightarrow{OC}$²=x²$\overrightarrow{OA}$²+2xy$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+y²$\overrightarrow{OB}$²
=x²+2xycos$\frac{2π}{3}$+y²=1，即为1=x²-xy+y²=（x+y）²-3xy；
则（x+y）²-1=3xy，由x+y≥2$\sqrt{xy}$（x=y取得等号），即xy≤$\frac{（x+y）^{2}}{4}$，即有（x+y）²-1≤$\frac{3}{4}$（x+y）²，
则（x+y）²≤4，即x+y≤2，即x+y的最大值为2，则x+y∈[1，2]，故④对．
故答案为：④．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查向量的加法平行四边形法则，以及基本不等式的运用，考查化简整理和转化思想，属于中档题．