【题目】如图所示,在四棱台ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2.
(1)若M为CD中点,求证:AM⊥平面AA1B1B;
(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)推导出AM⊥CD,由CD∥AB得,AM⊥AB,又AM⊥AA1,由此能证明AM⊥平面AA1B1B
(2)分别以AB,AM,AA1为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能求出直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值.
试题解析:
(1)证明:连接AC,
∵四边形ABCD为菱形,
∠BAD=120°,
∴△ACD为等边三角形,
又M为CD中点,
∴AM⊥CD,由CD∥AB得,
AM⊥AB.
∵AA1⊥底面ABCD,AM平面ABCD,∴AM⊥AA1.
又AB∩AA1=A,
∴AM⊥平面AA1B1B.
(2)∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2,
∴DM=1,AM=,
∴∠AMD=∠BAM=90°,
又AA1⊥底面ABCD,
∴以A为坐标原点,AB,AM,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则A1(0,0,2),B(2,0,0),D(-1,,0),D1,
∴=,=(-3,,0),=(2,0,-2).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则即
令x=1,则n=(1,,1),
∴|cos〈n,〉|===.
∴/span>直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值为.
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【题目】上周某校高三年级学生参加了数学测试,年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组:第一组;第二组;……;第六组,并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这次月考数学成绩的平均分和众数;
(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,求至少有1名学生的成绩在区间内的概率.
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【题目】“冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动,活动规定:被邀请者要么在小时内接受挑战,要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战),并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战,则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容,然后便可以邀请另外个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的,且互不影响.
(1)若某参与者接受挑战后,对其他个人发出邀请,则这个人中至少有个人接受挑战的概率是多少?
(2)为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关,某调查机构进行了随机抽样调查,调查得到如下列联表:
根据表中数据,能否有%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”?
附:
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【题目】已知数列{an}中,点(an,an+1)在直线y=x+2上,且首项a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}中,b1=a1,b2=a2,数列{bn}的前n项和为Tn,请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值.
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【题目】如图,在各棱长均为2的三棱柱中,侧面底面ABC,.
(1)求侧棱与平面所成角的正弦值的大小;
(2)已知点D满足,在直线上是否存在点P,使DP∥平面?若存在,请确定点P的位置,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,E为PC的中点,且∠PAB=∠PDC=90°.
(Ⅰ)证明:BE∥平面PAD;
(Ⅱ)证明:平面PAB⊥平面PAD.
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【题目】如图的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据(利润=营业额-支出),根据折线图,下列说法中正确的是( )
A.该超市这五个月中,利润随营业额的增长在增长
B.该超市这五个月中,利润基本保持不变
C.该超市这五个月中,三月份的利润最高
D.该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关
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