Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2
（1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

分析：（1）当t=

1

3

时，PA∥平面MQB，若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N，根据线面平行得到PA∥MN，从而

PM

PC

=

AN

AC

=

1

3

，即PM=

1

3

PC，从而求出t的值；
（2）以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，先求出平面MQB的法向量

n

，取平面ABCD的法向量

QP

=(0，0，

3

)设所求二面角为θ，根据公式cosθ=

| QP • n |

| QP || n |

即可求出二面角M-BQ-C的大小．

解答：解：（1）当t=

1

3

时，PA∥平面MQB
下面证明：若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N
由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，
∴

AQ

BC

=

AN

NC

=

1

2

…（2分）
PA∥平面MQB，PA?平面PAC，
平面PAC∩平面MQB=MN，
∴PA∥MN…（4分）

PM

PC

=

AN

AC

=

1

3

   即：PM=

1

3

PC∴t=

1

3

…（6分）
（2）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD．．（7分）
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，
四边形ABCD为菱形，
∵AD=AB，∠BAD=60°△ABD为正三角形，
Q为AD中点，∴AD⊥BQ…（8分）
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为
x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为
A（1，0，0），B（0，

3

，0），Q（0，0，0），P（0，0，

3

）
设平面MQB的法向量为

n

=(x，y，z)，可得

n • QB =0 n • MN =0

而PA∥MN∴

n • QB =0 n • PA =0

，

3 y=0 x- 3 z=0

取z=1，解得

n

=(

3

，0，1)…（10分）
取平面ABCD的法向量

QP

=(0，0，

3

)设所求二面角为θ，
则cosθ=

| QP • n |

| QP || n |

=

1

2

故二面角M-BQ-C的大小为60°…（12分）

点评：本题主要考查了线面平行的判断，以及利用空间向量的方法度量二面角的平面角，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，属于中档题．