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【题目】已知函数f(x)=ex-ax-1,其中e是自然对数的底数,实数a是常数.

(1)设a=e,求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)讨论函数f(x)的单调性.

【答案】(1) ; (2)答案见解析.

【解析】

(1)求函数f(x)的导数,可写出对应切线方程

(2) 对函数f(x)的导数值的正负分类,讨论单调性。

(1)∵a=e,∴f(x)=ex-ex-1,

∴f′(x)=ex-e,f(1)=-1,f′(1)=0.

∴当a=e时,函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=-1.

(2)∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a.

当a≤0时,f′(x)>0,故f(x)在上单调递增;

当a>0时,由f′(x)=ex-a=0,得x=ln a,

∴当x<ln a时,f′(x)< =0,当x>ln a时,f′(x)> =0,

∴f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.

综上,当a≤0时,f(x)在上单调递增;

当a>0时,∴f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.

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