Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若在上恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） （2） 详见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）由导数几何意义得为切线斜率 ，再根据点斜式求切线方程（2） 求函数单调性，先求函数导数： ，再根据导函数零点及符号变化规律，进行分类讨论：当时， ，因此在和上单调递增；当时，导函数有两个零点，因此先增再减再增（3）本题不宜变量分离，故直接研究函数，先求导数，导函数有两个零点，再根据两个零点大小分类讨论：时，，；时，；时，

试题解析：：（1）当 时，，

所以，函数在点处的切线方程为

即：

（Ⅱ）函数的定义域为：

当时，恒成立，所以，在和上单调递增

当时，令，即：，

，

所以，单调递增区间为，单调减区间为．

（Ⅲ）因为在上恒成立，有

在上恒成立．

所以，令，

则．

令则

若，即时，，函数在上单调递增，又

所以，在上恒成立；

若，即时，当时，单调递增；

当时，，单调递减

所以，在上的最小值为，

因为所以不合题意．

即时，当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以，在上的最小值为

又因为，所以恒成立

综上知，的取值范围是