已知数列{an}中,a1 = t (t≠0,且t≠1),a2 = t2.且当x = t时,函数f (x) =(an – an – 1)x2 – (an + 1 – an) x (n≥2)取得极值.
(1)求证:数列{an + 1 – an}是等比数列;
(2)若bn = an ln |an| (n∈N+),求数列{bn}的前n项的和Sn;
(3)当t = –时,数列{bn}中是否存在最大项?如果存在,说明是第几项,如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)由已知f′(t) = (an – an-1)·t – (an + 1 – an) = 0.
即 (an – an – 1) t = (an + 1 – an)
又a2 – a1 = t2 – t,t≠0且t≠1.
∴a2 – a1≠0.
∴
∴数列{an + 1 – an}是首项为t2 – t,公比为t的等比数列.……………………4分
(2)由(1)知an + 1 – an = (t2 – t)·tn–1 = t n+1 – t n.
∴an – an–1 = tn – tn–1; an–1 – an = tn–1 – tn–2;……a2 – a1 = t2 – t
以上n个式子相加:an–a1 = tn – t, an = tn, (t≠0且t≠1).………………6分
bn = an ln |an| = tn·ln |tn| = n·tn·ln|t|.
∴Sn = (t + 2·t2 + 3·t3 + … +n·tn )·ln |t|
t Sn = (t2 + 2t3 + …+ ntn + 1) ln |t|
∴Sn = …………………………………………9分
(3)因为t =,即–1<t<0.
∴当n为偶数时,bn = n·t n ln| t |<0
当n为奇数时,bn = n·t n ln| t |>0
所以最大项必须为奇数项.…………………………………………10分
设最大项为b2k + 1,则有
即.
整理得: 将
∵k∈N+ ∴k = 2.
即数列{bn}中的最大项为第5项.………………………………13分
科目:高中数学 来源: 题型:
n+1 |
2 |
2n |
an |
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