Question

 已知数列{a_n}中，a₁ = t (t≠0，且t≠1)，a₂ = t²．且当x = t时，函数f (x) =(a_n – a_{n – 1})x² – (a_{n + 1} – a_n) x    (n≥2)取得极值．

    （1）求证：数列{a_{n + 1} – a_n}是等比数列；

    （2）若b_n = a_n ln |a_n| (n∈N⁺)，求数列{b_n}的前n项的和S_n；

    （3）当t = –时，数列{b_n}中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项，如果不存在，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】（1）由已知f′(t) = (a_n – a_n-1)·t – (a_{n + 1} – a_n) = 0．

    即 (a_n – a_{n – 1}) t = (a_{n + 1} – a_n)

    又a₂ – a₁ = t² – t，t≠0且t≠1．

    ∴a₂ – a₁≠0．

    ∴

    ∴数列{a_{n + 1} – a_n}是首项为t² – t，公比为t的等比数列．……………………4分

   （2）由（1）知a_{n + 1} – a_n = (t² – t)·t^n–1 = t ⁿ⁺¹ – t ⁿ．

    ∴a_n – a_n–1 = tⁿ – t^n–1；    a_n–1 – a_n = t^n–1 – t^n–2；……a₂ – a₁ = t² – t

    以上n个式子相加：a_n–a₁ = tⁿ – t， a_n = tⁿ， (t≠0且t≠1)．………………6分

    b_n = a_n ln |a_n| = tⁿ·ln |tⁿ| = n·tⁿ·ln|t|．

    ∴S_n = (t + 2·t² + 3·t³ + … +n·tⁿ )·ln |t|

    t S_n = (t² + 2t³ + …+ nt^{n + 1}) ln |t|

    ∴S_n = …………………………………………9分

    （3）因为t =，即–1＜t＜0．

    ∴当n为偶数时，b_n = n·t ⁿ ln| t |＜0

      当n为奇数时，b_n = n·t ⁿ ln| t |＞0

    所以最大项必须为奇数项．…………………………………………10分

    设最大项为b_{2k + 1}，则有

    即．

    整理得：    将

    ∵k∈N⁺    ∴k = 2．

    即数列{b_n}中的最大项为第5项．………………………………13分