Question

已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）已知函数f（x）=2sinx，x∈[0，]，试写出f₁（x），f₂（x）的表达式，并判断f（x）是否为[0，]上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由；
（2）已知b＞0，函数g（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意可得，
于是f₂（x）-f₁（x）=2sinx．
若f（x）是[0，]上的“k阶收缩函数”，则2sinx≤kx在[0，]上恒成立，且?x₁∈[0，]使得2sinx＞（k-1）x
成立．
令φ（x）=sinx-x，x∈[0，]，则φ′（x）=cosx-1＜0，所以φ（x）=sinx-x在[0，]单调递减，
∴φ（x）≤φ（0），x∈[0，]，即sinx≤x，于是2sinx≤2x在[0，]恒成立；
又?x₁=，2sinx＞x成立．
故存在最小的正整数k=2，使f（x）为[0，]上的“2阶收缩函数”．
（2）g'（x）=-3x²+6x=-3x（x-2），令g'（x）=0得x=0或x=2．
令g（x）=0，解得x=0或3．
函数g（x），g′（x）的变化情况如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）		0		4

（ⅰ）b≤2时，g（x）在[0，b]上单调递增，
因此，g₂（x）=g（x）=-x³+3x²，g₁（x）=g（0）=0．
因为g（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，
所以，①g₂（x）-g₁（x）≤2（x-0）对x∈[0，b]恒成立；
②存在x∈[0，b]，使得g₂（x）-g₁（x）＞（x-0）成立．
①即：-x³+3x²≤2x对x∈[0，b]恒成立，由-x³+3x²≤2x，解得：0≤x≤1或x≥2，
要使-x³+3x²≤2x对x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1．
②即：存在x∈[0，b]，使得x（x²-3x+1）＜0成立．
由x（x²-3x+1）＜0得：x＜0或，所以，需且只需．
综合①②可得：
（ⅱ）当b＞2时，显然有，由于g（x）在[0，2]上单调递增，根据定义可得：，可得，
此时，g₂（x）-g₁（x）≤2（x-0）不成立．
综合（ⅰ），（ⅱ）可得：．
分析：（1）由题意可得，，于是f₂（x）-f₁（x）=2sinx．若f（x）是[0，]上的“k阶收缩函数”，则2sinx≤kx在[0，]上恒成立，且?x₁∈[0，]使得2sinx＞（k-1）x成立，构造函数φ（x）=sinx-x，x∈[0，]，可得2sinx≤2x在[0，]恒成立，由此可得结论；
（2）先对函数g（x）进行求导判断函数的单调性，进而写出g₁（x）、g₂（x）的解析式，分类讨论，利用g（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，即可得到答案．
点评：本题主要考查学生的对新问题的接受、分析和解决的能力．要求学生要有很扎实的基本功才能作对这类问题．