Question

直线l∶y＝kx＋1与双曲线C∶2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B． (1) 求实数k的取值范围 (2) 是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解：将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后．整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0．　　　　　　　　① 　　依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点 　　解得k的取值范围为－2＜k＜－ 　　分析：联立直线与双曲线的方程，然后利用判别式

(2)

解：设A、B两点的坐标分别为(x1，y1，)、(x2，y2)，则由①得x1＋x2＝　　② 　　假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c，0)，则有FA⊥FB． 　　∴(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0， 　　即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0． 　　整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0．　　③ 　　把②式及c＝代入③式化简得5k2＋－6＝0． 　　解得k＝或k＝(－2，－)(舍去)． 　　可知k＝使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点． 　　分析：假设存在，则有FA⊥FB 　　点评：本题考查探索性在解析几何中的应用．这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理， 若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．