Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是

3

，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-A的大小；
（3）求直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由题意及题中P为AB₁中点和D为AC中点，中点这样信息，得到线线PD∥B₁C平行，在利用PD∥平面A₁BD线面平行，利用线面平行的判定定理得到线面B₁C∥平面A₁BD平行；
（2）有正三棱柱及二面角平面角的定义，找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小；
（3）利用条件及上两问的证题过成找到∠APM就是直线A₁B与平面A₁BD所成的线面角，然后再三角形中解出即可．

解答：解：（1）设AB₁与A₁B相交于点P，连接PD，则P为AB₁中点，
∵D为AC中点，∴PD∥B₁C．
又∵PD∥平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．

（2）∵正三棱住ABC-A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥底面ABC．
又∵BD⊥AC
∴A₁D⊥BD
∴∠A₁DA就是二面角A₁-BD-A的平面角．
∵AA₁=

3

，AD=

1

2

AC=1
∴tan∠A₁DA=

A1A

AD

=

3

∴∠A₁DA=

π

3

，即二面角A₁-BD-A的大小是

π

3

．

（3）由（2）作AM⊥A₁D，M为垂足．
∵BD⊥AC，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC
∴BD⊥平面A₁ACC₁，
∵AM?平面A₁ACC₁，
∴BD⊥AM
∵A₁D∩BD=D
∴AM⊥平面A₁DB，连接MP，则∠APM就是直线A₁B与平面A₁BD所成的角．
∵AA₁=

3

，AD=1，∴在Rt△AA₁D中，∠A₁DA=

π

3

，
∴AM=1×sin60°=

3

2

，AP=AB₁=

7

2

．
∴sin∠APM=

AM

AP

=

3 2

7 2

=

21

7

∴直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值为

21

7

．

点评：此题重点考查了线面平行的判定定理，线面角的概念及二面角的平面角的定义，还考查了在三角形中求解角的大小，及学生的空间想象能力及计算能力．