Question

【题目】已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过左焦点F1(-2,0)作x轴的垂线交椭圆于P,Q两点,PF2与y轴交于E,A,B是椭圆上位于PQ两侧的动点.

(1)求椭圆的离心率e和标准方程;

(2)当∠APQ=∠BPQ时,直线AB的斜率kAB是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

(1)代入F1的横坐标即可表示出P点坐标为；利用E点坐标以及OE为的中位线得到a与b的关系；再结合椭圆中a、b、c的关系即可解得a、b，进而求得椭圆的离心率与标准方程。

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由(1)可求得P点坐标。设出直线AP的方程，则直线BP的方程也可以表示出来了。联立椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理与斜率的表达式即可求得斜率的定值。

(1)把x=-2代入椭圆方程得=1,解得y=±.取P,

由题可得OE为的中位线，

由可得，

即b2=3a,又a2=b2+4,联立解得a=4,b2=12,

∴e=,椭圆的标准方程为=1.

(2)当∠APQ=∠BPQ时,直线AB的斜率kAB为定值-.

证明：由(1)得P(-2,3),设A(x1,y1),B(x2,y2).

不妨设直线PA的方程为y=k(x+2)+3,则直线PB的方程为y=-k(x+2)+3.

联立整理得(3+4k2)x2+(16k2+24k)x+16k2+48k-12=0,∴-2x1=,

解得x1=,y1=.

同理得x2=,y2=,

∴kAB==-,为定值.