已知函数f(x)=(x-1)-alnx
(1)讨论函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若f(x)≥0对x∈[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(1)正确求得函数的导函数是关键,再求得导函数后,利用f'(x)>0,解自变量的取值范围时要对参数a进行讨论,很明显由
f′(x)=1-=以及x>0,可分a≤0和a>0来讨论得解.
(2)由f(x)≥0对x∈[1,+∞)上恒成立可分a≤1和a>1来讨论转化为函数的最小值大于等于0的问题来求解.
解答:解:(1)
f′(x)=1-=(x>0)(1分)
当a≤0时,f'(x)>0,在(0,+∞)上为增函数,无极值 (2分)
当a>0时,
f′(x)==0,x=a,(0,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数 (2分)
有极小值f(a)=(a-1)-alna,无极大值(1分)
(2)
f′(x)=1-=当a≤1时,f'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,则f(x)是单调递增的,
则f(x)≥f(1)=0恒成立,则a≤1(13分)
当a>1时,在(1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以x∈(1,a)时,f(x)≤f(1)=0这与f(x)≥0恒成立矛盾,故不成立(3分)
综上:a≤1
点评:本题考查函数的导数以及利用到输球函数的单调区间和极值问题;考查了利用函数的导数讨论含参数不等式的恒成立问题,求参数的取值范围,主要转化为函数的最值问题利用导数这一工具来求解.