Question

将函数y=2sin(x-

π

3

)的图象向右平移a（a＞0）个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数，则a的最小值是（　　）

• A．

  7

  6

  π
• B．

  π

  2

• C．

  π

  6

• D．

  π

  3

Answer 1

分析：由函数图象平移的公式，可得平移后函数解析式为y=g（x）=2sin[x-（a+

π

3

）]，由偶函数的定义得g（-x）=g（x），利用正弦的诱导公式得到关于a的等式，解之得到a=-

5π

6

+kπ（k∈Z），再取k=1即可得到a的最小值．

解答：解：设y=f（x）=2sin(x-

π

3

)，则函数图象向右平移a（a＞0）个单位后，
得到y=g（x）=f（x-a）=2sin[(x-a)-

π

3

]=2sin[x-（a+

π

3

）]，
∵平移后得到一个偶函数的图象，
∴g（-x）=g（x），可得2sin[-x-（a+

π

3

）]=2sin[x-（a+

π

3

）]，
即sin[x+（a+

π

3

）+π]=sin[x-（a+

π

3

）]，
∴x+（a+

π

3

）+π=[x-（a+

π

3

）]+2kπ（k∈Z），解之得a=-

5π

6

+kπ（k∈Z），
∵a＞0，∴取k=1得a=

π

6

达到最小值，即得a的最小值为

π

6

．
故选：C

点评：本题给出正弦型三角函数表达式，将函数图象平移后得到偶函数的图象，求参数a的最小值．着重考查了函数的奇偶性、函数图象平移的公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．