Question

17．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=$\frac{1}{2}$AD．
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）证明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求锐二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB=1，求出B，C，D，E，F，M．求出$\overrightarrow{BF}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{DE}$=（0，-1，1），利用空间向量的数量积求解异面直线BF与DE所成的角的大小．
（2）证明$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{AM}$=0，$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{AD}$=0．推出CE⊥平面AMD．然后证明平面AMD⊥平面CDE．
（3）求出平面CDE的法向量为$\overrightarrow{u}$，平面ACD的一个法向量为v，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原 点．设AB=1，依题意得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），E（0，1，1），F（0，0，1），M（$\frac{1}{2}$，1，$\frac{1}{2}$）．

（1）$\overrightarrow{BF}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{DE}$=（0，-1，1），
于是cos＜$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{BF}||\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{0+0+1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$．
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°．
（2）证明　由$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}$，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CE}$=（-1，0，1），
$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），可得$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{AM}$=0，$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{AD}$=0．
因此，CE⊥AM，CE⊥AD．
又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD．
而CE∥平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE．
（3）设平面CDE的法向量为$\overrightarrow{u}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}•\overrightarrow{CE}=0\\ \overrightarrow{u}•\overrightarrow{DE}=0.\end{array}\right.$于是$\left\{\begin{array}{l}-x+z=0\\-y+z=0.\end{array}$令x=1，可得$\overrightarrow{u}$=（1，1，1）．
又由题设，平面ACD的一个法向量为v=（0，0，1）．
所以，$cos＜\overrightarrow{u}，\overrightarrow{v}＞$=$\frac{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}$=$\frac{0+0+1}{\sqrt{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
因为二面角A-CD-E为锐角，所以其余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，异面直线所成角以及平面与平面垂直的判断与证明，考查空间想象能力以及计算能力．