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6.下列说法正确的是(  )
A.函数y=x+$\frac{2}{x}$的最小值为2$\sqrt{2}$
B.函数y=sinx+$\frac{2}{sinx}$(0<x<π)的最小值为2$\sqrt{2}$
C.函数y=|x|+$\frac{2}{|x|}$的最小值为2$\sqrt{2}$
D.函数y=lgx+$\frac{2}{lgx}$的最小值为2$\sqrt{2}$

分析 A.x<0时无最小值;
B.令sinx=t,由0<x<π,可得sinx∈(0,1),即t∈(0,1],令f(t)=t+$\frac{2}{t}$,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出;
C.令|x|=t>0,令f(t)=t+$\frac{2}{t}$,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出;
D.当0<x<1时,lgx<0,无最小值.

解答 解:A.x<0时无最小值;
B.令sinx=t,∵0<x<π,∴sinx∈(0,1),即t∈(0,1],令f(t)=t+$\frac{2}{t}$,f′(t)=1-$\frac{2}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-2}{{t}^{2}}$<0,∴函数f(t)在t∈(0,1]上单调递减,∴f(t)≥f(1)=3.因此不正确.
C.令|x|=t>0,令f(t)=t+$\frac{2}{t}$,f′(t)=1-$\frac{2}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-2}{{t}^{2}}$=$\frac{(t+\sqrt{2})(t-\sqrt{2})}{{t}^{2}}$,∴函数f(t)在t∈(0,$\sqrt{2}$]上单调递减,在t∈[$\sqrt{2}$,+∞)上单调递增,∴f(t)≥f($\sqrt{2}$)=2$\sqrt{2}$.因此f(t)的最小值为2$\sqrt{2}$,因此正确.
D.当0<x<1时,lgx<0,无最小值,因此不正确.
故选:C.

点评 本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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