Question

18．已知函数f（x）=|2x-1|，x∈R，
（1）解不等式f（x）＜x+1；
（2）若对于x，y∈R，有|x-y-1|≤$\frac{1}{3}$，|2y+1|≤$\frac{1}{6}$，求证：f（x）＜1．

Answer 1

分析 （1）由条件把要解的解绝对值不等式等价转化为-x-1＜2x-1＜x+1，从而求得x的范围．
（2）由条件利用绝对值三角不等式证得不等式成立．

解答 解：（1）不等式f（x）＜x+1，等价于|2x-1|＜x+1，即-x-1＜2x-1＜x+1，
求得0＜x＜2，故不等式f（x）＜x+1的解集为（0，2）．
（2）∵$|{x-y-1}|≤\frac{1}{3}，|{2y+1}|≤\frac{1}{6}$，
∴f（x）=|2x-1|=|2（x-y-1）+（2y+1）|≤|2（x-y-1）|+|（2y+1）|≤2•$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$＜1．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．