Question

7．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{3}{10}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在[-1，1]上的单调性并证明；
（3）当存在x∈[$\frac{1}{2}$，1]使得不等式f（mx-x）+f（x²-1）＞0恒成立，请同学们探究实数m的所有可能取值．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程关系即可确定f（x）的解析式；
（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性并用定义证明；
（3）利用函数奇偶性和单调性之间的关系即mx-x＞1-x²，即存在x∈[$\frac{1}{2}$，1]使mx-x＞1-x²成立即-1≤mx-x≤1成立．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴b=0，f（x）=$\frac{ax}{1{+x}^{2}}$，而f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{3}{10}$，即$\frac{\frac{1}{3}a}{1+\frac{1}{9}}$=$\frac{3}{10}$，解得：a=1，
故f（x）=$\frac{x}{1{+x}^{2}}$；
（2）函数f（x）=$\frac{x}{1{+x}^{2}}$在[-1，1]上为增函数；
下证明：设任意x₁，x₂∈[-1，1]且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{1{{+x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）（1{{-x}_{1}x}_{2}）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$，
因为x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，又因为x₁，x₂∈[-1，1]，所以1-x₁x₂＞0
即$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）（1{{-x}_{1}x}_{2}）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在[-1，1]上为增函数；
（3）因为f（mx-x）+f（x²-1）＞0，所以f（mx-x）＞-f（x²-1），
即f（mx-x）＞f（1-x²），
又由（ II）函数y=f（x）在[-1，1]上为增函数，
所以mx-x＞1-x²，即存在x∈[$\frac{1}{2}$，1]使mx-x＞1-x²成立即-1≤mx-x≤1成立，
即存在x∈[$\frac{1}{2}$，1]使m＞-x+$\frac{1}{x}$+1成立且1-$\frac{1}{x}$≤m≤1+$\frac{1}{x}$成立，
得：m＞1且-1≤m≤2，
故实数m的所有可能取值{m|1＜m≤2}．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及函数单调性的证明，综合考查函数的性质，属于难题．