Question

过点P（-2，1）作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线x²=4y交于A，B两点，若直线AB与圆C：x²+（y-1）²=1交于不同两点M，N，则|MN|的最大值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线与圆的位置关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：第一步：设直线PA的斜率为k₀，则直线PA的方程为y-1=k₀（x+2），与抛物线方程联立，得A点的坐标（用k₀表示），同理得B点的坐标，继而得直线AB的斜率；
第二步：设直线AB的方程为y=kx+b，联立圆C与直线AB的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，由韦达定理，得两根之和及两根之积，由△＞0，得b的范围；
第三步：由弦长公式写得|MN|的表达式，并根据b的范围，探究|MN|的最值．

解答： 解：设直线AB的斜率为k，点A的坐标为（x₀，y₀），直线PA的斜率为k₀，
则直线PA的方程为y-1=k₀（x+2），
联立x²=4y，消去y，整理得x²-4k₀x-8k₀-4=0，
变形为[x-（4k+2）]（x+2）=0，得x₀=2+4k₀，
将x₀的值代入抛物线的方程中，得y0=(1+2k0)2，从而A（2+4k₀，（1+2k₀）²）．
易知，直线PB的斜率为-k₀，同理得B（2-4k₀，（1-2k₀）²），
∴直线AB的斜率k=

(1+2k0)2-(1-2k0)2

(2+4k0)-(2-4k0)

=1．
于是可设直线AB的方程为y=x+b，点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立圆C与直线AB的方程，有

x2+(y-1)2=1 y=x+b

，
消去y，整理得2x²+2（b-1）x+b²-2b=0，
由韦达定理，得x₁+x₂=1-b，x1x2=

b2-2b

2

．
∵直线AB与圆有两个公共点M，N，
∴△=（2b-2）²-4×2（b²-2b）＞0，解得1-

2

＜b＜1+

2

．
由弦长公式，得|MN|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

(1-b)2-4× b2-2b 2

=

2

•

-b2+2b+1

=

2

•

-(b-1)2+2

，
当b=1时，|MN|_max=

2

•

2

=2．
故答案为：2．

点评：本题属直线、抛物线与圆的综合题，难度中等，主要考查了直线与抛物线、直线与圆的相交关系、韦达定理及弦长公式的应用等．对于弦长最值的求解，一般是先写出弦长的表达式，转化为函数的最值或值域问题来处理．