Question

3．△ABC的三边长a，b，c和面积S满足S=$\frac{1}{2}$[c²-（a-b）²]，若c=2，且2sinAcosC=sinB，则b的值为（　　）

• A． $\frac{15}{4}$
• B． $\frac{13}{4}$
• C． $\frac{12}{5}$
• D． $\frac{13}{5}$

Answer 1

分析 利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出cosC的值，进而利用正弦定理余弦定理即可得出b的值．

解答 解：在△ABC中，∵S=$\frac{1}{2}$[c²-（a-b）²]=$\frac{1}{2}$（c²-a²-b²+2ab）
=$\frac{1}{2}$（2ab-2abcosC）=$\frac{1}{2}$absinC，
∴sinC+2cosC=2，
又∵sin²C+cos²C=1，
∴解得cosC=$\frac{3}{5}$或1（舍去），可得：cosC=$\frac{3}{5}$．
∵2sinAcosC=sinB，
∴2acosC=b，
∴2a×$\frac{3}{5}$=b，化为a=$\frac{5b}{6}$．
由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（\frac{5b}{6}）^{2}+{b}^{2}-{2}^{2}}{2×\frac{5b}{6}×b}$=$\frac{3}{5}$，解得b=$\frac{12}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查了三角形面积计算公式、余弦定理正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．