Question

已知函数f(x)是奇函数，且满足2f(x+2)+f(-x)=0，当x∈(0，2)时，f(x)=lnx+ax(a＜)，当x∈(-4，-2)时，f(x)的最大值为-4．
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)设b≠0，函数，x∈(1，2)，若对任意的x₁∈(1，2)，总存在x₂∈(1，2)，使f(x₁)-g(x₂)=0，求实数b的取值范围．

Answer 1

解：(Ⅰ)由已知，得2f(x+2)=-f(-x)，
∵f(x)是奇函数，
∴f（x）=-f（-x），
∴2f（x+2）=f(x)，
∴f(x)=2f(x+2)=4f(x+4)，
∵x∈(0，2)时，f(x)=1nx+ax，设x∈（-4，-2），则x+4∈(0，2)，
∴f(x+4)=ln(x+4)+a(x+4)，
∴x∈(-4，-2)时，f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4a(x+4)，
所以，，
∵x∈(-4，-2)，∴-4ax＜4+16a，
∵，∴，
又由，可得，
∴f(x)在上是增函数，在上是减函数，
∴，
∴ a=-l。
(Ⅱ)设f(x)的值域为A，g(x)的值域为B，则由已知，对于任意的，总存在，
使得得，
由(Ⅰ)知，a=-1，
当x∈(1，2)时，，
∵x∈(1，2)，
∴f'(x)＜0，f(x)在x∈(1，2)上单调递减函数，
∴f(x)的值域为A=(ln2-2，-1)，
∵g'(x)=bx²-b=b(x-1)(x+1)，
∴(1)当b＜0时，g(x)在(1，2)上是减函数，
此时，g(x)的值域为，
为满足，又，∴，即。
(2)当b＞0时，g(x)在（1，2）上是递增函数，
此时g(x)的值域为，
为满足，又，则，
∴。
综上可知，b的取值范围是。