Question

已知函数f（x）=ln-ax²+x（a＞0），  
（1）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；  
（2）若f（x）在定义域上有两个极值点x₁、x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=-lnx-ax²+x，
f′（x）=，
令△=1-8a，
当a时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当0＜a＜时，△＞0，方程2ax²-x+1=0有两个不相等的正根x₁，x₂，
不妨设x₁＜x₂，则当x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）时，f′（x）＜0，
当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＞0，这时f（x）不是单调函数；
综上，a的取值范围是[，+∞）。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈（0，）时，f（x）有极小值点x₁和极大值点x₂，
且x₁+x₂=，x₁x₂=，


，
令g（a）=ln（2a）++1，a∈（0，]，
则当a∈（0，）时，g′（a）=，
g（a）在（0，）单调递减，所以g（a）＞g（）=3-2ln2，
即f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2。