Question

已知函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）试求出函数f（x）的解析式；
（2）证明函数在定义域内是单调增函数．

Answer 1

分析：（1）根据函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，可得f（0）=0，结合f(

1

2

)=

2

5

，可求出a，b值，进而得到函数f（x）的解析式；
（2）直接利用函数单调性的定义进行证明，设在（-1，1）上任取两个数x₁，x₂，且x₁＞x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，从而得到结论．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，即b=0
又∵f(

1

2

)=

2

5

，∴

a 2

1+ 1 4

=

2

5

，解得a=1
∴f(x)=

x

1+x2

．
（2）任取任取两个数x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1•x2)

(1+x12)(1+x22)

＜0
因为x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1+x12＞0，1+x22＞0，1-x₁•x₂＞0
则f（x₁）＜f（x₂）
故函数f(x)=

ax+b

1+x2

在（-1，1）上单调递增

点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的证明，解题的关键是化简判定符号，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．