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    在双曲线4x2-y2=1的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|•|OB|=15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是________．


    分析：先由双曲线方程4x2-y2=1求出它的渐近线方程，再根据渐近线方程设A（m，2m），B（n，-2n），由于|OA|•|OB|=15，
    化得：m2n2=25，设AB中点M（x，y）利用职权中点坐标公式可得4x2-y2=4mn，从而消去mn即得所求的AB中点的轨迹方程．
    解答：∵双曲线4x2-y2=1，∴a2=，b2=1
    ∴渐近线y=2x，y=-2x，
    设A（m，2m），B（n，-2n），由于|OA|•|OB|=15，
    ∴|OA|2•|OB|2=225，
    ∴（m2+4m2）（n2+4n2）=225
    ∴m2n2=25，
    设AB中点M（x，y）
    x=（m+n），y=m-n，
    ∴（2x）2-y2=（m+n）2-（m-n）2
    4x2-y2=4mn
    （4x2-y2）2=16m2n2=16×25，
    ∴4x2-y2=±20，即，
    故答案为：．
    点评：本小题主要考查双曲线的简单性质、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p≠0）的异于原点的交点
    （1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标
    （2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆
    x2
    4
    +y2=1上，p=
    1
    2ab
    ，
    求证：点Q落在双曲线4x2-4y2=1上
    （3）若动点P（a，b）满足ab≠0，p=
    1
    2ab
    ，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C1
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    以抛物线y2=4
    		3
    x    的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C2与椭圆C1相似，且相似比为2，求椭圆C2的方程．
    （2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C1上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线x2=
    1
    mn
    y    异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x2-4y2=1上．
    （3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线Cb上，若存在求出函数f（b）=SABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在双曲线4x2-y2=1的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|•|OB|=15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是
    x2
    5
    -
    y2
    20
    =±1
    x2
    5
    -
    y2
    20
    =±1
    ．

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    科目：高中数学 来源：2010年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    在双曲线4x2-y2=1的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|•|OB|=15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是    ．

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