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(经典回放)已知函数φ(x)+1,f(x)=(a+b)x-ax-bx,其中a,b∈N+,a≠1,b≠1,a≠b,且ab=4,

(1)求函数φ(x)的反函数g(x);

(2)对任意n∈N+,试指出f(n)与g(2n)的大小关系,并证明你的结论.

答案:
解析:

  解:(1)由y=+1,得=y-1(y≥1),

  有x+1=(y-1)2,即x=y2-2y,故g(x)=x2-2x(x≥1).

  (2)∵f(n)=(a+b)n-an-bn,g(2n)=4n-2n+1

  当n=1时f(1)=0,g(2)=0,有f(1)=g(2).

  当n=2时,f(2)=(a+b)2-a2-b2=2ab=8,

  g(22)=42-23=8,f(2)=g(22).

  当n=3时,f(3)=(a+b)3-a3-b3=3a2b+3ab2=3ab(a+b)>3ab×=48.

  g(23)=43-24=48,有f(3)>g(23).

  当n=4时,f(4)=(a+b)4-a4-b4

  =4a3b+4ab3+6a2b2

  =4ab(a2+b2)+6a2b2>4ab×2ab+6a2b2

  =14a2b2=224.

  g(24)=44-25=224,有f(4)>g(24),由此推测当1≤n≤2时,f(n)=g(2n),

  当n≥3时,f(n)>g(2n).

  下面用数学归纳法证明.

  (1)当n=3时,由上述推测成立;

  (2)假设n=k时,推测成立.即f(k)>g(2k)(k≥3),

  即(a+b)k-ak-bk>4k-2k+1

  那么f(k+1)=(a+b)k+1-ak+1-bk+1

  =(a+b)·(a+b)k-a·ak-b·bk

  =(a+b)[(a+b)k-ak-bk]+akb+abk

  又依题设a+b>2ab=4.

  akb+abk=2(ab)=2k+2

  有f(k+1)>4[(a+b)k-ak-bk]+2k+2>4(4k-2k+1)+2k+2

  =4k+1-2k+2=g(2k+1),

  即n=k+1时,推测也成立.

  由(1)(2)知n≥3时,f(n)>g(2n)都成立.

  思路分析:欲比较f(n)与g(2n)的大小,需求出f(n)与g(2n)的关于n的表达式,以利于特殊探路——从n=1,2,3,…中寻找、归纳一般性结论,再用数学归纳法证明.


提示:

为保证猜想的准确性,当设n=1,2时,得出f(n)=g(2n),不要急于去证明,应再试验一下n=3,4时,以免出现错误.


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