(经典回放)已知函数φ(x)=+1,f(x)=(a+b)x-ax-bx,其中a,b∈N+,a≠1,b≠1,a≠b,且ab=4,
(1)求函数φ(x)的反函数g(x);
(2)对任意n∈N+,试指出f(n)与g(2n)的大小关系,并证明你的结论.
解:(1)由y=+1,得=y-1(y≥1), 有x+1=(y-1)2,即x=y2-2y,故g(x)=x2-2x(x≥1). (2)∵f(n)=(a+b)n-an-bn,g(2n)=4n-2n+1, 当n=1时f(1)=0,g(2)=0,有f(1)=g(2). 当n=2时,f(2)=(a+b)2-a2-b2=2ab=8, g(22)=42-23=8,f(2)=g(22). 当n=3时,f(3)=(a+b)3-a3-b3=3a2b+3ab2=3ab(a+b)>3ab×=48. g(23)=43-24=48,有f(3)>g(23). 当n=4时,f(4)=(a+b)4-a4-b4 =4a3b+4ab3+6a2b2 =4ab(a2+b2)+6a2b2>4ab×2ab+6a2b2 =14a2b2=224. g(24)=44-25=224,有f(4)>g(24),由此推测当1≤n≤2时,f(n)=g(2n), 当n≥3时,f(n)>g(2n). 下面用数学归纳法证明. (1)当n=3时,由上述推测成立; (2)假设n=k时,推测成立.即f(k)>g(2k)(k≥3), 即(a+b)k-ak-bk>4k-2k+1, 那么f(k+1)=(a+b)k+1-ak+1-bk+1 =(a+b)·(a+b)k-a·ak-b·bk =(a+b)[(a+b)k-ak-bk]+akb+abk. 又依题设a+b>2ab=4. akb+abk>=2(ab)=2k+2, 有f(k+1)>4[(a+b)k-ak-bk]+2k+2>4(4k-2k+1)+2k+2 =4k+1-2k+2=g(2k+1), 即n=k+1时,推测也成立. 由(1)(2)知n≥3时,f(n)>g(2n)都成立. 思路分析:欲比较f(n)与g(2n)的大小,需求出f(n)与g(2n)的关于n的表达式,以利于特殊探路——从n=1,2,3,…中寻找、归纳一般性结论,再用数学归纳法证明. |
为保证猜想的准确性,当设n=1,2时,得出f(n)=g(2n),不要急于去证明,应再试验一下n=3,4时,以免出现错误. |
科目:高中数学 来源:全优设计必修四数学苏教版 苏教版 题型:044
(经典回放)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)在一个周期内的图象如下图所示.求直线y=3与函数y=f(x)的所有交点坐标.
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科目:高中数学 来源:全优设计必修四数学苏教版 苏教版 题型:044
(经典回放)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(,0)对称,且在区间[0,]上单调函数,求φ和ω的值.
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科目:高中数学 来源:全优设计选修数学-1-1苏教版 苏教版 题型:044
(经典回放)已知c>0,设p:函数y=cx在R上单调递减.q:不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果p和q有且仅有一个正确,求c的取值范围.
探究:q命题转化为求函数y=x+|x-2c|的最小值问题.
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科目:高中数学 来源:全优设计选修数学-2-1苏教版 苏教版 题型:047
(经典回放)已知函数f(x)=(a>1).
(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
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