Question

14．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知cos2A+3cos（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意和二倍角公式可得cosA的方程，解方程结合角的范围可得A值；
（2）由余弦定理可得a²=（b+c）²-bc，代入数据可得bc的值，整体代入面积公式可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中cos2A+3cos（B+C）=1，
∴2cos²A-1-3cosA=1，即2cos²A-3cosA-2=0，
解得cosA=-$\frac{1}{2}$，或cosA=2（舍去），
由A∈（0，π）可得A=$\frac{2π}{3}$；
（2）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA
=b²+c²+bc=（b+c）²-bc，
代入数据可得12=16-bc，解得bc=4，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查解三角形，谁余弦定理和三角形的面积公式以及整体思想，属中档题．