Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2

2

．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求m的取值范围．
（3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的定义，利用椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于长轴长，就可求出a，再根据椭圆的离心率e=

c

a

，就可求出c值，再结合椭圆中a，b，c的关系式求出b值，就可得到椭圆方程．
（2）设出直线l的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，解得P，Q两点的横坐标之和，纵坐标之和，进而可求线段PQ的垂直平分线方程，令x=0，把m用含k的式子表示，根据k的范围求出m的范围．
（3）y轴把△PQM分成了两个三角形△PMF₁和△QMF₁，所以△PQM的面积就是△PMF₁和△QMF₁的面积之和，进而可用m表示△MPQ的面积S，再利用导数求出最大值即可．

解答：解：（1）∵椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2

2

∴2a=2

2

，∴a=

2

∵椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0）的离心率为

2

2

∴

c

a

=

2

2

∴c=1
又∵a²=b²+c²，
∴b=1．
又斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点，即椭圆的焦点在Y轴上
∴所求椭圆方程为

y2

2

+x2=1…（4分）
（2）直线l的方程为y=kx+1
由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
该方程的判别式△=8k²+8＞0恒成立．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

-2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

…（5分）
∴y1+y2=k(x1+x2)+2=

4

k2+2

设线段PQ中点为N，则点N的坐标为(

-k

k2+2

，

2

k2+2

)…（6分）
∴线段PQ的垂直平分线方程为y=

2

k2+2

-

1

k

(x+

k

k2+2

）
令x=0，由题意m=

1

k2+2

…（7分）
又又k≠0，∴k²+2＞2，∴0＜

1

k2+2

＜

1

2

∴0＜m＜

1

2

…（8分）
（3）设椭圆上焦点为F，
∵y轴把△PQM分成了△PMF和△QMF，
∴S_△MPQ=S_△PMF+S_△QMF=

1

2

|FM||x₁|+

1

2

|FM||x₂|=

1

2

|FM|（|x₁|+|x₂|）
∵P，Q在y轴两侧，∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|
∴S△MPQ=

1

2

•|FM|•|x1-x2|
∵|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

8(k2+1) (k2+2)2

由m=

1

k2+2

，可得k2+2=

1

m

．
∴|x1-x2|=

8( 1 m -1) 1 m2

=

8m(1-m)

又∵|FM|=1-m，
∴S△MPQ=

1

2

(1-m)

8m(1-m)

=

2m(1-m)3

．
∴△MPQ的面积为

2

m(1-m)3

（0＜m＜

1

2

）．
设f（m）=m（1-m）³，则f'（m）=（1-m）²（1-4m）．
可知f（m）在区间(0，

1

4

)单调递增，在区间(

1

4

，

1

2

)单调递减．
∴f（m）=m（1-m）3有最大值f(

1

4

)=

27

256

此时△MPQ的面积为

2

×

27 256

=

3 6

16

∴△MPQ的面积有最大值

3 6

16

．

点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆位置关系的判断，以及韦达定理的应用，考查应用导数求最值，综合性强，须认真分析，正确作答．