Question

8．{a_n}为等比数列，若a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）．

Answer 1

分析 通过q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$可得公比和首项，进而可得a_na_n+1=（ $\frac{1}{2}$）^2n-5，进而可得数列{a_na_n+1}是以8为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，∴q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{8}$，
∴q=$\frac{1}{2}$，a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=4，
∴数列{a_n}的通项为：a_n=4•（$\frac{1}{2}$）^n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-3；
则a_na_n+1=（$\frac{1}{2}$）^n-3•（$\frac{1}{2}$）^n-2=（$\frac{1}{2}$）^2n-5，
又∵a₁a₂=（$\frac{1}{2}$）2-5=8，
∴数列{a_na_n+1}是以8为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=8•$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）．
故答案为：$\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）．

点评 本题考查求等比数列的通项的应用以及数列求和，考查学生的计算能力，属于中档题．