Question

【题目】已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）当切线PA的长度为2 时，求点P的坐标；
（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），

因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，

所以MP= ，解得

所以

（2）解：设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，

其方程为：

即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0

由 ，

解得 或 ，所以圆过定点

（3）解：因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣ ）2=

即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0…①

圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②

②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0

点M到直线AB的距离

相交弦长即：

当 时，AB有最小值

【解析】（1）因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP= ，即可点P的坐标；（2）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为： ，即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，即可得出结论；（3）求出点M到直线AB的距离，利用勾股定理，即可求线段AB长度的最小值．