Question

7．设函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）若c=1，求在点（0，f（0））处的切线方程．
（3）若对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件可得$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f′（2）=0}\end{array}\right.$，解出并验证即可；
（2）求出函数的函数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；
（3）利用导数先求出函数f（x）在区间[0，3]上的极大值，再求出区间端点的函数值，进行比较，得出最大值．又已知要求的问题：对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立?f（x）_max＜c²，x∈[0，3]．进而解出即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c，
∴f′（x）=6x²+6ax+3b．
∵函数f（x）在x=1及x=2时取得极值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f′（2）=0}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{6+6a+3b=0}\\{24+12a+3b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=4}\end{array}\right.$
f（x）=2x³-9x²+12x+8，
∴f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
经验证当a=-3，b=4时，函数f（x）在x=1及x=2时取得极值．
∴a=-3，b=4．
（2）f（x）=2x³-9x²+12x+8，f（0）=8，切点（0，8）．
又f′（0）=12，
∴函数在x=0处的切线方程为y=12x+8；
（3）由（1）可知：f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
令f′（x）=0，解得x=1，2．
函数f（x）在区间[0，1），（2，3]上单调递增；在区间（1，2）上单调递减．
∴函数f（x）在x=1处取得极大值，且f（1）=5+8c．
而f（3）=9+8c，∴f（1）＜f（3），
∴函数f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）=9+8c．
对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立?f（x）_max＜c²，
x∈[0，3]?9+8c＜c²，
由c²-8c-9＞0，解得c＞9或c＜-1．
∴c的取值范围是（-∞，-1）∪（9，+∞）．

点评 充分利用导数求函数的极值及对要求的问题正确转化是解题的关键．