Question

【题目】已知抛物线的焦点为曲线的一个焦点， 为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线的准线于，直线交抛物线于点.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若、、三个点满足，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或.

【解析】试题分析： 求出曲线的焦点，即可算出抛物线方程设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，得，再结合，算出结果

解析：（Ⅰ）解由曲线，可得，所以曲线是焦点在轴上的双曲线，其中，故， 的焦点坐标分别为，因为抛物线的焦点坐标为，由题意知，得，所抛物线的方程为

（Ⅱ）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，消去得

，设，由根与系数的关系得，

因为，故，得，由及，

解得或，代入，解得或

故的方程为或，化简得或

另解：如图，由，可设，则

，因为，所以

解得， ，所以，在中，

，即（为直线的斜率），所以

直线的方程为，即，由于对称性知另一条直线的方程为.