Question

已知圆的方程为x²+y²=1，把圆上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到一椭圆，则以该椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程为（　　）

• A．

  x2

  3

  -y2=1
• B．

  y2

  3

  -x2=

  1

  4

• C．

  x2

  3

  -y2=

  1

  4

• D．

  y2

  3

  -x2=1

Answer 1

分析：把圆上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到一椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

1

=1，再求出椭圆的顶点和焦点，从而得到双曲线的焦点和顶点，进而得到双曲线方程．

解答：解：把圆上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到一椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

1

=1，
椭圆

x2

4

+

y2

1

=1的顶点为（-2，0）和（2，0），焦点为（-

3

，0）和（

3

，0）．
∴双曲线的焦点坐标是（-2，0）和（2，0），顶点为（-

3

，0）和（

3

，0）．
∴双曲线的a=

3

，c=2⇒b=1
∴双曲线方程为

x2

3

-y2=1．
故选A．

点评：本题主要考查变换法求解曲线的方程，考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．