Question

已知点A、B的坐标分别是（0，-1）、（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为-

1

2

．
（1）求点M轨迹C的方程；
（2）若过点D（0，2）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F，试求△OEF面积的取值范围（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（1）设出点M的坐标，写出直线AM、BM的斜率，由斜率之积为-

1

2

列式求M得轨迹方程；
（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系写出两交点横坐标的和与积，把△OEF的面积转化为△OED与△OEF的面积的差，然后代入根与系数关系，换元后利用基本不等式求最值．

解答：解：（1）设点M的坐标为（x，y），
∵kAM•kBM=-

1

2

，∴

y+1

x

•

y-1

x

=-

1

2

．
整理得，

x2

2

+y2=1(x≠0)；
（2）由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+2．
联立

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²+8kx+6=0．
由△=64k²-4×6（2k²+1）＞0，解得k2＞

3

2

．
设E（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

-8k2

2k2+1

，x1x2=

6

2k2+1

．
S_△OEF=S_△OED-S_△OFD=

1

2

OD|x1|-

1

2

OD|x2|=

1

2

OD|x1-x2|=

1

2

×2|x1-x2|=|x1-x2|
=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( -8k2 2k2+1 )2-4• 6 2k2+1

=

16k2-24 (2k2+1)2

=

16(k2- 3 2 ) (2k2+1)2

．
令k2-

3

2

=t(t＞0)，所以k2=t+

3

2

(t＞0)．
则S△OEF=

16t (2t+4)2

=

4t (t+2)2

=2

t t2+4t+4

=2

1 t+ 4 t +4

≤2

1 4+4

=

2

2

．
所以S△OEF∈(0，

2

2

]．

点评：本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，利用根与系数关系解题是该类问题常用的方法，此题有一定难度．