Question

已知数学竞赛出a、b、c三题，有25个学生参加竞赛，每个学生至少解出一题，在没有解出a题的学生中，解出b题的人数是解出c题人数的2倍，只解出a题的人数比其余解出a的人数多1，再解出一题的学生中只有一半不能解出a，求只解出b题的人数．

Answer 1

考点：Venn图表达集合的关系及运算

专题：集合

分析：设出解出a、b、c三题的学生的集合分别为A、B、C，根据集合元素之间的关系，建立方程关系，进行推理即可得到结论．

解答： 解：设解出a、b、c三题的学生的集合分别为A、B、C，并用三个圆表示之，则重叠部分表示同时解出两题或三题的学生的集合，其人数分别以x，y，z，d，e，f，g表示．
由于每个学生至少解出一题，故x+y+z+d+e+f+g=25①
由于没有解出a题的学生中，解出b题的人数是解出c题的人数的2倍，故y+f=2（z+f）②
由于只解出a题的学生比余下的学生中解出a题的学生的人数多1，故x=d+e+g+1③
由于只解出一题的学生中，有一半没有解出a题，故x=y+z④
由②得：y=2z+f，f=y-2z⑤
以⑤代入①消去f得x+2y-z+d+e+g=25⑥
以③、④分别代入⑥得：2y-z+2d+2e+2g=24⑦
3y+d+e+g=25⑧
以2×⑧-⑦得：4y+z=26⑨
∵z≥0，∴4y≤26，y≤6.5．
利用⑤⑨消去c，得f=y-2（26-4y）=9y-52
∵f≥0，∴9y≥52．
∵y∈Z，
∴y=6．可以解出x=8，y=6，z=2，f=2，可以知道共有15位同学解出甲题，
但只解出b题的学生有6人．

点评：本题主要考查集合关系的应用，利用文氏图，建立方程关系是解决本题的关键．运算量较大，有一点的难度．