【题目】已知数列{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,满足b1=1,.
①求数列{bn}的通项公式bn;
②若存在p,q,k∈N*,p<q<k,使得ambq,amanbp,anbk成等差数列,求m+n的最小值.
【答案】(1) an.(2) ①bn=2n﹣1;②7
【解析】
(1)根据前n项和与通项的关系,即可求出通项公式;
(2)①将代入递推公式中,用裂项相消求出
,再由前n项和求出通项
;
②由等差数列的中项性质,求出的不等量关系,结合基本不等式,即可得到
最小值.
(1)∵数列{an}的前n项和.
∴当n=1时,a1=S1,
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,
当时,a1
,满足上式,
∴an.
(2)①∵
=()+(
)+(
)+…+(
)
1
.
∴1,
∴Tn+1=2n+1﹣1,Tn=2n﹣1,
把上面两式相减得,bn+1=2n,
∴时,
,
当时,
满足上式,
②由ambq,amanbp,anbk成等差数列,
有2amanbp=ambq+anbk,
即2,
由于p<q<k,且为正整数,所以q﹣p≥1,k﹣p≥2,
所以mn=m+n
≥2m+4n,
可得 mn≥2m+4n,1,
的最小值为12,
此时或
或
,
的最小值为12.
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【题目】已知服从正态分布的随机变量在区间
,
,
内取值的概率分别为0.6826,0.9544,0.9974.若某种袋装大米的质量
(单位:
)服从正态分布
,任意选一袋这种大米,质量在
的概率为_.
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【题目】某仪器经过检验合格才能出厂,初检合格率为:若初检不合格,则需要进行调试,经调试后再次对其进行检验;若仍不合格,作为废品处理,再检合格率为
.每台仪器各项费用如表:
项目 | 生产成本 | 检验费/次 | 调试费 | 出厂价 |
金额(元) | 1000 | 100 | 200 | 3000 |
(Ⅰ)求每台仪器能出厂的概率;
(Ⅱ)求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率(注:利润出厂价
生产成本
检验费
调试费);
(Ⅲ)假设每台仪器是否合格相互独立,记为生产两台仪器所获得的利润,求
的分布列和数学期望.
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【题目】给出以下四个命题:
(1)命题,使得
,则
,都有
;
(2)已知函数f(x)=|log2x|,若a≠b,且f(a)=f(b),则ab=1;
(3)若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等,则平面α平行于平面β;
(4)已知定义在上的函数
满足条件
,且函数
为奇函数,则函数
的图象关于点
对称.
其中真命题的序号为______________.(写出所有真命题的序号)
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,
),P4(1,
)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
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【题目】如图,已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,点
为椭圆
上任意一点,
关于原点
的对称点为
,有
,且
的最大值
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若是
关于
轴的对称点,设点
,连接
与椭圆
相交于点
,问直线
与
轴是否交于一定点.如果是,求出该定点坐标;如果不是,说明理由.
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【题目】如图,在三棱柱中,
平面
,
为
边上一点,
,
.
(1)证明:平面平面
.
(2)若,试问:
是否与平面
平行?若平行,求三棱锥
的体积;若不平行,请说明理由.
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