Question

已知椭圆的离心率为，且其焦点F（c，0）（c＞0）到相应准线l的距离为3，过焦点F的直线与椭圆交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设M为椭圆的右顶点，则直线AM，BM与准线l分别交于P，Q两点（P，Q两点不重合），求证：=0．．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意有解得a=2，c=1
从而b==
∴椭圆的标准方程为=1
（Ⅱ）①若直线AB与x轴垂直，则直线AB的方程是x=1
∵该椭圆的准线方程为x=4，
∴P（4，3），Q（4，3），∴=（3，-3），=（3，3）
∴=0
∴当直线AB与X轴垂直时，命题成立．
②若直线AB与X轴不垂直，则设直线AB的斜率为k，
∴直线AB的方程为y=k（x-1），k≠0
又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）
联立消y得，根据韦达定理可知
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
∴y₁y₂=k2（x₁-1）（x₂-1）=
又∵A、M、P三点共线，∴y₃=
同理y₄=
∴=（3，），=（3，）
∴•=9+=0
综上所述：•=0
分析：（Ⅰ）先根据题意通过离心率和焦点到准线的距离联立方程求得a和c，则b可得，进而求得椭圆的方程．
（Ⅱ）先看直线AB与x轴垂直时，把x=1代入椭圆方程求得P，Q的坐标，则和可求，进而求得•=0；再看若直线AB与X轴不垂直，设出直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而根据直线方程求得y₁y₂的表达式，进而根据三点共线，斜率相等求得y₃和y₄的表达式，表示出和，进而求得•=0．
点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系问题．解决直线与圆锥曲线的关系时，注意讨论直线的斜率不存在的情况．