Question

已知函数f（x）=sinωx•cosωx+sin²ωx-

1

2

（ω＞0），其相邻两个零点间的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）锐角△ABC中，f（

A

2

+

π

8

）=

1

2

，AB=4，△ABC的面积为6，求BC的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式化简整理，然后利用三角函数的性质求得T进而求得函数解析式．
（2）通过f（

A

2

+

π

8

）=

1

2

求得sinA的值，进而求得A，然后通过三角形面积求得AC，最后利用余弦定理求得BC．

解答： 解：（1）f(x)=

1

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx=

2

2

sin(2ωx-

π

4

)，
∴

T

2

=

π

2

，
∴T=π，
∴2ω=

2π

T

⇒ω=1，
∴f(x)=

2

2

sin(2x-

π

4

)；
（2）∵f(

A

2

+

π

8

)=

1

2

，
∴

2

2

sinA=

1

2

，
∴sinA=

2

2

，
又由锐角△ABC知，角A为锐角，
∴A=

π

4

；
∵S△ABC=

1

2

•AB•AC•sinA=

1

2

•4•AC•sinA=

2

AC=6，
∴AC=3

2

，
∴BC²=AB²+AC²-2•AB•AC•cosA=10，
∴BC=

10

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角函数图象和性质等知识．