Question

已知四棱锥P-ABCD（如图），底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，M、N分别为AD、BC的中点，MQ⊥PD于Q．
（1）求证：平面PMN⊥平面PAD；
（2）PA=2，求PM与平面PCD所成角的正弦值；
（3）求二面角P-MN-Q的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证明平面PMN⊥平面PAD，我们只要证明一个平面经过另一个平面的垂线即可，分析图中已知直线易得，MN⊥平面PAD满足要求，故我们可以先MN⊥平面PAD，然后根据面面垂直的判定定理，即可求解．
（2）要求PM与平面PCD所成角的正弦值，关键是要找到PM在平面PCD上的射影，由MN∥CD，我们根据（1）的结论，易得CD⊥平面PAD，进而得到平面PCD⊥平面PAD，则过M做PD的垂线，则垂足Q，即为M点在平面PCD上的射影，PQ即为PM在平面PCD上的射影，解三角形PMQ，即可得到答案．
（3）由（1）的结论，∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角，解三角形PMQ，即可得到答案．

解答：证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，MN?底面ABCD
∴MN⊥PA
又∵MN⊥AD，且PA∩AD=A
∴MN⊥平面PAD
又∵MN?平面PMN
∴平面PMN⊥平面PAD
（2）∵CD∥MN
∴CD⊥平面PAD
∴平面PCD⊥平面PAD
又∵MQ⊥PD于Q
∴MQ⊥平面PCD
∴∠MPQ即为PM与平面PCD所成的角
∵PA=AD=2
∴△PAD为等腰直角三角形
则PM=

5

，MQ=

2

2

，MD=

2

2

，
∴sin∠MPQ=

MQ

PM

=

10

10

（3）由（1）MN⊥平面PAD知：
PM⊥MN，MQ⊥MN
∴∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角
而PM=

5

，MQ=

2

2

，
∴cos∠PMQ=

MQ

PM

=

10

10

点评：求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系．（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造--作出或找到斜线与射影所成的角；②设定--论证所作或找到的角为所求的角；③计算--常用解三角形的方法求角；④结论--点明斜线和平面所成的角的值．