Question

已知函数f（x）=x²-6x+1，g（x）=-x²-2x+7，设H₁（x）=max{f（x），g（x）}，H₂（x）=min{f（x），g（x）}（其中max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p、q中的较小值）记H₁（x）的最小值为A，H₂（x）的最大值为B，则A-B=（　　）

• A、-17
• B、17
• C、-16
• D、16

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：化简f（x）-g（x）=2x²-4x-6=2（x-3）（x+1）；从而分段写出H₁（x），H₂（x）；从而求函数的最大值与最小值，从而求函数的最值．

解答： 解：由题意，f（x）-g（x）=2x²-4x-6=2（x-3）（x+1）；
故H₁（x）=max{f（x），g（x）}
=

x2-6x+1，x≥3或x≤-1 -x2-2x+7，-1＜x＜3

，
结合二次函数的性质可得，
H₁（x）在（-∞，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；
从而可得A=H₁（3）=3²-6×3+1=-8；
H₂（x）=min{f（x），g（x）}
=

x2-6x+1，-1≤x≤3 -x2-2x+7，x＞3或x＜-1

，
H₂（x）在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，+∞）上是减函数；
从而可得B=H₂（-1）=1+6+1=8；
故A-B=-16．
故选C．

点评：本题考查了分段函数的最值的求法及应用，属于中档题．