Question

已知函数f（x）=lnx+

a

x

（a＞0）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设P（x₀，y₀）为函数f（x）图象上的任意一点，若当x₀∈（0，3]时，点P处的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，令导数大于0，小于0，分别解出不等式即可；
（2）切线的斜率即为函数在切点处的导数，让f′（x₀）=

x0-a

x02

≤

1

2

恒成立即可，再由不等式恒成立时所取的条件得到实数a范围，即得实数a的最小值．

解答： 解：由f（x）=lnx+

a

x

（a＞0），得到f′（x）=

x-a

x2

（1）令f′（x）＞0，得到x-a＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（a，+∞），
令f′（x）＜0，得到x-a＜0，故函数f（x）的单调递减区间为（0，a），
故函数f（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞）．
（2）由于f′（x₀）=

x0-a

x02

，且以y=f（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立
则f′（x₀）=

x0-a

x02

≤

1

2

在（0，3]上恒成立，即a≥x₀-

1

2

x02在（0，3]上恒成立，
令g（x）=x₀-

1

2

x02（0＜x≤3），可知g（x）_max=g（1）=

1

2

，
∴a≥

1

2

，
故实数a的最小值为

1

2

．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．同时考查利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，不等式恒成立时所取的条件．