Question

（2011•武进区模拟）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式(

1

2

)|x-1|≥a的解集为?，命题q：函数f(x)=lg(ax2+(a-2)x+

9

8

)的定义域为R，若命题p和q中有且仅有一个正确，求a的取值范围．

Answer 1

分析：若p正确，求得a＞1；②若q正确，求得

1

2

＜a＜8．根据p和q中有且仅有一个正确，故有

a＞1 a≤ 1 2 或a≥8

 或

a≤1 1 2 ＜a＜8

，解不等式组，求得a的取值范围．

解答：解：①若p正确，则由0＜(

1

2

)|x-1|≤1，求得a＞1．（4分）
②若q正确，则ax2+(a-2)x+

9

8

＞0解集为R（6分）
当a=0时，-2x+

9

8

＞0不合，舍去；
当a≠0时，则

a＞0 △＜0

解得 

1

2

＜a＜8．（10分）
③∵p和q中有且仅有一个正确，
∴

a＞1 a≤ 1 2 或a≥8

或

a≤1 1 2 ＜a＜8

，
∴a≥8或

1

2

＜a≤1．
故a的取值范围为[8，+∞）∪（

1

2

，1]．（14分）

点评：本题主要考查对数函数、指数函数的单调性和特殊点，复合命题的真假，属于中档题．