Question

已知函数f（x）=cos（ω•x-θ）（其中ω＞0，θ∈[0，π]）是奇函数，又函数f（x）的图象关于直线对称，且在区间（0，）内函数f（x）没有零点．
（1）求θ和ω的值；
（2）函数f（x）图象是中心对称图形，请写出所有对称中心的坐标；
（3）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=cos（ω•x-θ）是奇函数，
∴cosθ=0，又θ∈[0，π]），则θ=…2．
奇函数f（x）的图象关于直线对称，且在区间（0，）内函数f（x）没有零点，
则=，T=，
∴ω==6…6
（2）函数f（x）=cos（6x-），由f（x）=0得6x-=kπ-…7
∴x=（k∈Z）．函数f（x）图象的对称中心是（，0），其中k∈Z…9
（3）f（x）=cos（6x-）=sin6x，
∴由2kπ-≤6x≤2kπ+得：-≤x≤+（k∈Z）…11
∴函数f（x）的单调递增区间是[-，+]（k∈Z）…12
分析：（1）由f（x）=cos（ω•x-θ）是奇函数，可得f（0）=cosθ=0，又θ∈[0，π]，可求得θ，由=，T==可求得ω；
（2）由（1）可得，f（x）=cos（6x-），由f（x）=0即可求得其对称中心；
（3）f（x）=cos（6x-）=sin6x，由2kπ-≤6x≤2kπ+可求得函数f（x）的单调递增区间．
点评：本题考查余弦函数的单调性与奇偶性，θ和ω的值的确定是关键，也是难点所在，考查综合分析与转化运用的能力，属于中档题．