Question

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)²万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q(a)．

Answer 1

（1）L＝(x－3－a)·(12－x)²，x∈[9,11]．（2）当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝4 ³(万元)．

(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)·(12－x)²，x∈[9,11]．
(2)L′(x)＝(12－x)²－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)·(18＋2a－3x)．
令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12(不合题意，舍去)．
∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤.
在x＝6＋a两侧，L′的值由正变负．
所以①当8≤6＋a<9，
即3≤a<时，
L_max＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)²＝9(6－a)；
②当9≤6＋a≤，
即≤a≤5时，
L_max＝L ²
＝4³，所以Q(a)＝
故若3≤a<，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若≤a≤5，则当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝4 ³(万元)