Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a^x-1．其中a＞0且a≠1．
（1）求f（2012）+f（-2012）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）当a=2时，解关于x的不等式-1＜f（x-1）＜4，结果用集合或区间表示．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义可以得出f（-x）+f（x）=0，从而求得所求的式子的值．
（2）根据奇函数的定义可得f（0）=0．设xx≤0，则-x≥0，再根据条件求得此时f（x）的解析式，从而得出结论．
（3）故当x≥0时，有-1＜2^x-1-1＜4，由此求得x的范围．当x＜0时，-1＜1-2^-（x-1）＜4，由此求得x的范围．最后再把这2个x的范围取并集，即得所求．

解答：解：（1）由奇函数的定义可得f（2012）+f（-2012）=f（2012）-f（2012）=0．
（2）设x≤0，则-x≥0，故有f（-x）=a^-x-1=-f（x），∴f（x）=1-a^-x．
由此可得 f（x）=

ax-1 ，x＞0 0 ，x=0 1-a-x ，x＜0

．
（3）由于a=2，故当x≥0时，有-1＜2^x-1-1＜4，即0＜2^x-1＜5，所以x∈（0，log₂10）．
当x＜0时，-1＜1-2^-（x-1）＜4，所以，不等式无解
综上所述，不等式的解集为 （0，log₂10）．

点评：本题考查了奇函数的性质、求函数的解析式、以及对数函数不等式的解法，属于中档题．