Question

（本小题满分13分）设函数，其中为正整数.

（Ⅰ）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；

（Ⅱ）证明：；

（Ⅲ）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.

Answer 1

(Ⅰ) 函数在上单调递增 (Ⅱ)略  （Ⅲ）的最大值为，最小值为.

解析:

：（1）在上均为单调递增的函数. 1分

   对于函数，设 ，则

   ，

   ，

   函数在上单调递增.  3分

（2） 原式左边   

     

      .… 5分

    又原式右边.

      .    6分

（3）当时，函数在上单调递增，

     的最大值为，最小值为.

    当时，， 函数的最大、最小值均为1.

    当时，函数在上为单调递增.

     的最大值为，最小值为.

    当时，函数在上单调递减，

     的最大值为，最小值为.  … 9分

    下面讨论正整数的情形：

    当为奇数时，对任意且

     ，

    以及 ，

     ，从而 .

     在上为单调递增，则

    的最大值为，最小值为.                    …… 11分

    当为偶数时，一方面有 .

    另一方面，由于对任意正整数，有

    ，

    .

 函数的最大值为，最小值为.     

    综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.

当为偶数时，函数的最大值为，最小值为. …… 13分